Il caso della Zecca di Staterion non è finito. Mentre Liz tenta di rimettere in moto Kinesys, la direttrice arriva con un sacchetto di dodici monete: una è falsa, ma questa volta nessuno sa se sia più leggera o più pesante delle altre.
“Il falsario è peggiorato”, osserva Dord con una smorfia. “Almeno prima era coerente.”
La vecchia bilancia a due piatti è ancora l’unico strumento disponibile, e ogni pesata richiede come sempre un permesso in triplice copia. Liz si arrende e spegne i motori. M00N fluttua sopra i piatti, raggiante: “Dodici monete, un mistero, e una bilancia tutta per noi. Che bella giornata!”
Quesito
Con una bilancia a due piatti, si hanno dodici monete, una delle quali ha un peso leggermente diverso dalle altre (non si sa se maggiore o minore). Qual è il numero minimo di pesate per stabilire qual è?
Soluzione
Bastano tre pesate. Chiamiamo le monete A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L.
Nella prima pesata si confrontano A, B, C, D con E, F, G, H. In base al risultato si effettuano le pesate successive, come indicato nella tabella; il metodo permette anche di scoprire se la moneta falsa è più leggera o più pesante. I casi segnati come “impossibili” non possono verificarsi, dato che esattamente una moneta è falsa.
| Pesata 1 | Pesata 2 | Pesata 3 | Moneta falsa |
|---|---|---|---|
| ABCD = EFGH | AI = JK | L < A | L (più leggera) |
| L > A | L (più pesante) | ||
| L = A | Impossibile | ||
| AI < JK | J = K | I (più leggera) | |
| J < K | K (più pesante) | ||
| J > K | J (più pesante) | ||
| AI > JK | J = K | I (più pesante) | |
| J < K | J (più leggera) | ||
| J > K | K (più leggera) | ||
| ABCD > EFGH | AEI = BCH | F = G | D (più pesante) |
| F < G | F (più leggera) | ||
| F > G | G (più leggera) | ||
| AEI > BCH | A = I | H (più leggera) | |
| A < I | Impossibile | ||
| A > I | A (più pesante) | ||
| AEI < BCH | B = C | E (più leggera) | |
| B < C | C (più pesante) | ||
| B > C | B (più pesante) | ||
| ABCD < EFGH | AEI = BCH | F = G | D (più leggera) |
| F < G | G (più pesante) | ||
| F > G | F (più pesante) | ||
| AEI < BCH | A = I | H (più pesante) | |
| A < I | A (più leggera) | ||
| A > I | Impossibile | ||
| AEI > BCH | B = C | E (più pesante) | |
| B < C | B (più leggera) | ||
| B > C | C (più leggera) |
Un ragionamento sul numero di esiti conferma che tre pesate sono anche necessarie: ogni pesata ha tre esiti, quindi due pesate distinguono al massimo 9 situazioni, mentre qui i casi possibili sono 24 (12 monete, ciascuna potenzialmente più leggera o più pesante).