Il Banchetto dell’Equità di Staterion prosegue, e il problema delle caraffe si fa più serio. Ora sul tavolo ci sono due caraffe enormi, da dieci litri l’una: una d’acqua, una di vino.
Il cerimoniere ha ricevuto un ordine dal Consiglio delle Bilance: le due caraffe devono contenere la stessa percentuale di vino, per non fare torto a nessuno. Può travasare tre litri alla volta, avanti e indietro, quante volte vuole, mescolando dopo ogni passaggio.
Dord annuisce soddisfatto: “Finalmente una regola sensata.” Liz, dopo il decimo travaso, comincia a ballare un valzer attorno al tavolo per non addormentarsi. M00N ha un sospetto: “E se non ci si arrivasse mai?”
Quesito
Un altro interessante problema con le caraffe di acqua e vino. All’inizio una caraffa contiene 10 litri di acqua e l’altra 10 litri di vino. Trasferendo 3 litri avanti e indietro un numero qualsivoglia di volte, e agitando dopo ogni trasferimento, è possibile raggiungere uno stato in cui la percentuale di vino nelle due miscele sia la stessa?
Soluzione
Indipendentemente dalla quantità di vino in una caraffa e di acqua nell’altra, e da quanto liquido viene trasferito avanti e indietro a ogni passaggio (purché il liquido non finisca tutto in una sola caraffa), è impossibile raggiungere un punto in cui la percentuale di vino sia uguale nelle due miscele.
Lo si può dimostrare con un semplice ragionamento induttivo. Supponiamo che la caraffa A contenga una concentrazione di vino più alta della caraffa B. Un trasferimento da A a B lascia A con la concentrazione maggiore: B riceve una miscela più forte della sua, ma resta comunque più debole di A. Allo stesso modo, un trasferimento da B ad A (da una miscela più debole a una più forte) lascia certamente B più debole. Poiché ogni trasferimento rientra in uno di questi due casi, la caraffa A contiene sempre una miscela con una percentuale di vino più alta di B. L’unico modo per rendere uguali le concentrazioni è versare tutto il contenuto di una caraffa nell’altra.
In questa soluzione c’è però un’idea errata: essa presuppone che i liquidi siano infinitamente divisibili, mentre in realtà sono composti di molecole discrete. Dord trova questa precisazione semplicemente meravigliosa.
Fonte: Martin Gardner, “Enigmi e giochi matematici”.