Il teletrasporto questa volta non si è nemmeno sforzato: Kinesys è tornata sulla stessa isoletta di Abakos, ma su una spiaggia diversa. Qui cinque marinai, anch’essi naufraghi, dormono profondamente accanto a un grosso mucchio di noci di cocco, sorvegliato da una scimmia molto sveglia.
Durante la notte l’equipaggio assiste a uno spettacolo curioso: uno dopo l’altro, i marinai si svegliano, armeggiano con le noci e tornano a dormire. Dord è indignato da tanta segretezza. Liz, che non riesce a dormire, balla sulla sabbia al chiaro delle lune di Abakos. M00N, invece, conta tutto con entusiasmo: su questo pianeta, dopotutto, è un obbligo.
Quesito
Cinque marinai e una scimmia fecero naufragio su un’isola deserta e passarono il primo giorno a raccogliere noci di cocco. Poi le ammucchiarono tutte insieme e andarono a dormire.
Mentre tutti dormivano, uno di essi si svegliò e, pensando che il mattino dopo ci sarebbero stati litigi per la spartizione, decise di prendersi la sua parte. Divise quindi le noci in cinque mucchi uguali: rimaneva una noce, che diede alla scimmia; poi nascose la sua parte e rimise insieme tutto il resto. Subito dopo un secondo marinaio si svegliò e fece la stessa cosa, dando anche lui la noce residua alla scimmia. Uno dopo l’altro, tutti e cinque i marinai fecero lo stesso, ognuno prendendo un quinto del mucchio che trovava e dando una noce alla scimmia.
La mattina divisero le noci rimaste, e ognuno ottenne lo stesso numero di noci (questa volta senza avanzi). Naturalmente ognuno sapeva che mancavano delle noci, ma ognuno era colpevole quanto gli altri, e così nessuno parlò.
Quante noci c’erano all’inizio (come minimo)? E se i marinai fossero N?
Soluzione
La risposta è 3121 noci.
In realtà la risposta non è unica: una volta nota una soluzione, le altre si ottengono sommando (o sottraendo) multipli di una costante, che in questo caso vale 56 = 15 625. 3121 è il numero minimo di noci di cocco.
Per ricavare questo valore si può risolvere il sistema seguente:
Y = 5 × A + 1
4 × A = 5 × B + 1
4 × B = 5 × C + 1
4 × C = 5 × D + 1
4 × D = 5 × E + 1
4 × E = 5 × F
dove Y è il numero totale di noci all’inizio; A, B, C, D, E sono le noci prese da ciascun marinaio durante la notte; F è il numero di noci che ciascun marinaio riceve alla spartizione del mattino; il +1 indica la noce data ogni volta alla scimmia. Tutti questi valori devono essere interi.
Con semplici sostituzioni si ottiene:
1024 × Y = 15 625 × F + 8404
A questo punto bisogna risolvere l’equazione tenendo presente che i risultati devono essere interi. Si può procedere per tentativi, ma esistono metodi precisi: per esempio, ci si può ricondurre a un problema di programmazione lineare intera, in cui l’equazione precedente è un vincolo e la funzione obiettivo da minimizzare è semplicemente Y. Si ottiene così la soluzione 3121 (con A = 624, B = 499, C = 399, D = 319, E = 255 e F = 204).
Nel caso generale di N marinai, la soluzione è data da:
- per N dispari: (1 + N × K) × NN − (N − 1)
- per N pari: (N − 1 + N × K) × NN − (N − 1)
con K intero (K = 0 dà il valore minimo).
Per una trattazione più approfondita vale la pena consultare il libro “Enigmi e giochi matematici” di Martin Gardner, che dedica a questo enigma un intero capitolo.
Fonte: Martin Gardner, “Enigmi e giochi matematici”.