Il Banchetto dell’Equità di Staterion prosegue, e il problema delle caraffe si fa più serio. Ora sul tavolo ci sono due caraffe enormi, da dieci litri l’una: una d’acqua, una di vino.
Il cerimoniere ha ricevuto un ordine dal Consiglio delle Bilance: le due caraffe devono contenere la stessa percentuale di vino, per non fare torto a nessuno. Può travasare tre litri alla volta, avanti e indietro, quante volte vuole, mescolando dopo ogni passaggio.
Dord annuisce soddisfatto: “Finalmente una regola sensata.” Liz, dopo il decimo travaso, comincia a ballare un valzer attorno al tavolo per non addormentarsi. M00N ha un sospetto: “E se non ci si arrivasse mai?”
Quesito
Un altro interessante problema con le caraffe di acqua e vino. All’inizio una caraffa contiene 10 litri di acqua e l’altra 10 litri di vino. Trasferendo 3 litri avanti e indietro un numero qualsivoglia di volte, e agitando dopo ogni trasferimento, è possibile raggiungere uno stato in cui la percentuale di vino nelle due miscele sia la stessa?
Suggerimento
Supponete che una caraffa abbia una percentuale di vino più alta dell’altra. Che cosa succede a questa disuguaglianza dopo un travaso in un senso? E dopo un travaso nell’altro?
Soluzione
Indipendentemente dalla quantità di vino in una caraffa e di acqua nell’altra, e da quanto liquido viene trasferito avanti e indietro a ogni passaggio (purché il liquido non finisca tutto in una sola caraffa), è impossibile raggiungere un punto in cui la percentuale di vino sia uguale nelle due miscele.
Lo si può dimostrare con un semplice ragionamento induttivo. Supponiamo che la caraffa A contenga una concentrazione di vino più alta della caraffa B. Un trasferimento da A a B lascia A con la concentrazione maggiore: B riceve una miscela più forte della sua, ma resta comunque più debole di A. Allo stesso modo, un trasferimento da B ad A (da una miscela più debole a una più forte) lascia certamente B più debole. Poiché ogni trasferimento rientra in uno di questi due casi, la caraffa A contiene sempre una miscela con una percentuale di vino più alta di B. L’unico modo per rendere uguali le concentrazioni è versare tutto il contenuto di una caraffa nell’altra.
In questa soluzione c’è però un’idea errata: essa presuppone che i liquidi siano infinitamente divisibili, mentre in realtà sono composti di molecole discrete. Dord trova questa precisazione semplicemente meravigliosa.
Fonte: Martin Gardner, “Enigmi e giochi matematici”.