Kinesys si materializza su un’isoletta, l’unico punto fermo di Dynamos, un pianeta dove tutto il resto gira, corre e oscilla senza sosta. “Almeno qui non si muove niente”, sospira Liz, prima di accorgersi che l’isola ospita un aeroporto affollatissimo.
I piloti locali stanno preparando la Grande Circumnavigazione: un aereo deve fare il giro completo del pianeta. C’è però un problema: con un pieno si fa solo mezzo giro. Dord scuote la testa: “Progettare serbatoi così piccoli è semplicemente irrazionale.”
M00N, invece, ha già un’idea: “E se si aiutassero tra loro? Tutti insieme ce la fanno!” Il capo dei piloti la guarda incuriosito: sì, ma quanti aerei servono, come minimo?
Quesito
Un gruppo di aerei è dislocato su una piccola isola di Dynamos. Il serbatoio di ogni aereo contiene esattamente il carburante sufficiente per compiere mezzo giro del pianeta, ma è possibile trasferire quanto carburante si vuole dal serbatoio di un aereo a quello di un altro mentre gli aerei sono in volo. La sola fonte di carburante è sull’isola, e si suppone che non si perda tempo nel rifornimento, né in aria né a terra.
Qual è il numero minimo di aerei necessario per assicurare a uno di essi il volo di un giro completo attorno al pianeta, ammettendo che gli aerei abbiano tutti la stessa velocità costante rispetto al suolo e lo stesso consumo di carburante, e che tutti gli aerei rientrino sani e salvi alla base?
Soluzione
Sono sufficienti 3 aerei. Chiamiamoli A, B e C; ricordiamo che un serbatoio pieno basta per mezzo giro, quindi un quarto di serbatoio basta per 1/8 di giro.
- I tre aerei partono insieme. Arrivati a 1/8 di giro, ognuno ha consumato un quarto di serbatoio. C trasferisce un quarto di serbatoio ad A e un quarto a B, che tornano così con il pieno; a C resta esattamente un quarto di serbatoio, giusto quanto serve per tornare all’isola.
- Arrivati a 1/4 di giro, A e B hanno di nuovo tre quarti di serbatoio. B trasferisce un quarto di serbatoio ad A, che torna con il pieno; a B resta mezzo serbatoio, sufficiente per rientrare all’isola.
- A, con il pieno, può proseguire per altro mezzo giro, cioè fino a 3/4 del giro, dove arriva con il serbatoio vuoto.
- Nel frattempo C, dopo aver fatto il pieno sull’isola, parte nel senso opposto e raggiunge A proprio a 3/4 del giro (cioè a 1/4 di giro dall’isola, dall’altra parte). C ha consumato mezzo serbatoio e ne trasferisce un quarto ad A: ora entrambi hanno un quarto di serbatoio, sufficiente per 1/8 di giro.
- Contemporaneamente B, anch’esso rifornito, parte nel senso opposto e raggiunge A e C esattamente a 7/8 del giro. B ha consumato un quarto di serbatoio, e ne dà un quarto a ciascuno dei due: ora tutti e tre hanno un quarto di serbatoio, quanto basta per l’ultimo 1/8 di giro.
I tre aerei arrivano insieme all’isola in riserva totale, ma sani e salvi. I tempi tornano: C rientra all’isola quando A è a 1/4 del giro e deve ripartire quando A è a metà giro; B rientra quando A è a metà giro e deve ripartire quando A è a 3/4.
Fonte: Martin Gardner, “Enigmi e giochi matematici”.